Родился 13 января 1977 году в с. Аскиз (Республика Хакасия). 

В 2000 году закончил с отличием физический факультет  Новосибирского государственного университета  по специальности  «физика элементарных частиц». С 2000 года по 2003 аспирант Института ядерной физики им. Г. И. Будкера СО РАН.

Защитил работу на соискание ученой степени кандидата наук в 2012 году (01.14.16 - физика атомного ядра и элементарных частиц). После защиты продолжил работать в лаборатории 3-2  Института ядерной физики имени Г.И.Будкера Сибирского отделения РАН.

С 2004 по 2012 год занимал должности младшего научного и научного сотрудника Института ядерной физики имени Г.И.Будкера Сибирского отделения РАН. С 2013 года по настоящее время старший научный сотрудник той же организации. В 2022 году занимает должность ведущего научного сотрудника Института ядерной физики имени Г.И.Будкера Сибирского отделения РАН и старшего преподавателя кафедры общей физики Новосибирского государственного университета.

      В 2012 году за цикл работ по прецизионному исследованию свойств элементарных частиц на встречных электронно-позитронных пучках награжден премией Президента Российской Федерации в области науки и инноваций для молодых ученых. 

В числе основных научных достижений Тодышева К.Ю. измерение основных параметров семейства очарованных мезонов — связанных состояний C и анти-C кварков с лучшей в мире точностью.

В настоящее время продолжает работать в области исследования процессов рождения адронов при аннигиляции электрон-позитронной пары.

Является автором и соавтором 380 статей в ведущих национальных и международных журналах индекс цитирования 6800, индекс хирша 42. Работы автора отмечены  престижными отечественными  премиями (премия Г.И. Будкера СО РАН 2005 год за работу «Прецизионное измерение масс J/psi и psi' — мезонов», золотая медаль РАН для молодых учёных за работу «Прецизионное измерение массы тау-лептона» в 2009 году), а также поддержаны грантами РФФИ(8). Кроме научной работы, ведет и преподавательскую деятельность.